Sabtu, 28 April 2012

menentukan akar persamaan polinomial dengan horner dan geogebra


120428
Menentukan akar-akar persamaan polinomial
Bagaimana cara menentukan akar-akar persamaan polinomial ini?
x4 – 4x3 – x2 + 16x – 12 = 0
Penyelesaian:
Kalau kita tulis akar-akar polinomial itu adalah p, q, r, dan s, maka menurut teorema vieta berlaku
x4 – (p+q+r+s)x3 + (pq + pr + ps + qr + qs + rs)x2 – (pqr + pqs + prs + qrs)x + (pqrs)=0.
Ini artinya
p + q + r + s = 4,
pq + pr + ps + qr + qs + rs = – 1,
pqr + pqs + prs + qrs = – 16, dan
pqrs = – 12.
Nah, yang akan kita lihat adalah pada pqrs nya atau pada koefisien berderajat paling kecil, lebih mudahnya adalah biasanya yang paling belakang dari polinomial itu. Pada persamaan itu nilai yang akan menjadi patokan adalah – 12. Karena 12 itu adalah hasil kali dari akar-akarnya, maka ada kemungkinan akar-akar polinomialnya adalah faktor dari 12. Sekarang kita sebutkan faktor-faktor dari 12, yaitu 1, 2, 3, 4, 6, dan 12, itu juga berlaku untuk bilangan negatifnya.

Langkah selanjutnya adalah menggunakan aturan Horner.

x4
x3
x2
x1
x0
koefisien
1
4
1
16
12
1

1
3
4
12
h(x) =
1
3
4
12
0

Ya, sisanya nol. Berarti dugaan kita benar. 1 adalah faktor dari polinomial itu. Berarti 1 adalah salah satu akar persamaan polinomial itu. Sekarang kita punya hasil bagi h(x)= x3 – 3x2 – 4x + 12.
Secara lengkap boleh kita tulis seperti ini.
x4 – 4x3 – x2 + 16x – 12 = (x – 1)(x3 – 3x2 – 4x + 12)
mungkin 2 adalah akar yang lain. Siapa tau kan? Kita coba saja lagi dengan Horner. Kita pecah lagi h(x) yang telah kita dapat.

x3
x2
x1
x0
koefisien
1
3
4
12
2

2
2
12
h(x) =
1
1
6
0

Benar sekali! :D berarti 2 juga akar persamaan polinomial itu. Kita dapatkan h(x)= x2– x – 6. Sekarang kita punya bentuk menarik dari polinomial yang tadi menjadi seperti ini.
x4 – 4x3 – x2 + 16x – 12 = (x – 1)(x – 2)(x2– x – 6).
Pastinya dengan sangat mudah kita dapat memfaktorkan bentuk h(x) terakhir itu menjadi seperti ini.
x2– x – 6 = (x – 3)(x + 2). Sehingga secara lengkap persamaan polinomial tadi dapat kita ubah menjadi seperti ini.
x4 – 4x3 – x2 + 16x – 12 = 0
(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x + 2) = 0.
Jadi akar-akar persamaan polinomial itu adalah x1 = – 2, x2 = 1, x3 = 2, dan x4 = 3.

Sekarang kita kerjakan dengan geogebra.
Buka geogebranya, kemudian kita masukkan polinomialnya pada input, (tanpa = 0) seperti ini.

Tekan enter untuk melihat hasilnya, setelah disesuaikan hasilnya seperti ini.

Akar persamaan artinya nilai x berapa saja sehingga polinomialnya itu nilainya nol? Kalimat itu berarti kapan (untuk x berapa saja) grafik itu berpotongan dengan sumbu X? Kita bisa mengetahuinya dengan sangat mudah dengan cara begini.
1. Pilih intersect two object (perpotongan dua objek)

2. kemudian klik grafik dan klik sumbu X.


3. Seketika muncul titik perpotongan grafik dan sumbu X. Itulah akar persamaan polinomial
x4 – 4x3 – x2 + 16x – 12 = 0.
Di sisi aljabar (sebelah kiri) akan terlihat koordinat titik A, B, C, dan D seperti ini.
 
Mudah sekali bukan? Akar-akarnya adalah A= – 2, B = 1, C = 2, dan D = 3.


Polinomial dengan akarnya berupa bilangan irrasional.
Sekarang bagaimana kalau persamaan polinomialnya seperti ini? Masih bisakah kita menyelesaikannya? Tentu saja bisa.
x⁴ 2x³ x² + 6x 6 = 0
Penyelesaian:
Kita lihat, faktornya 6 adalah 1, 2, 3, dan 6. akan tetapi kalau kita masukkan bilangan-bilangan itu, tidak menghasilkan nol. Bagaimana ini? Apa yang harus kita lakukan?
Jangan panik. Kita cek dulu dengan geogebra. Masukkan polinomial itu pada kotak input kemudian tekan enter.
Hasilnya adalah seperti ini.
Untuk mengetahui akar-akar polinomialnya, kita cari titik potong antara grafik itu dengan sumbu X. Caranya dengan intersect two object, pilih grafiknya, kemudian pilih sumbu X.

Hasilnya seperti ini.
Dan di bagian aljabar kita lihat titiknya adalah seperti ini.
Akar-akarnya adalah A = – 1,73 dan B = 1,73. kok hasilnya aneh? Desimal gitu sih? Pasti itu hasilnya adalah pembulatan. Kurang tepat dong.. Apalagi kalau nanti kita cek dengan Horner, x kita ganti dengan 1,73 mungkin tidak menghasilkan nol.
Jangan terburu-buru kecewa seperti itu, kawan, tidak baik. Sabar, orang sabar akan disayang Allah. Mari kita menggunakan sarana yang ada di geogebra untuk mengungkap apa yang terkandung di balik rahasia yang ada. Kita pakai bantuan dari lingkaran. Klik ikon lingkaran 
  
(circle with center through point: lingkaran dengan pusat tertentu dan melewati titik tertentu). Kemudian klik pada titik pusat O(0,0) dan klik titik B. Apa yang terjadi?
Terbentuk satu lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari berapa? Kita lihat pada bagian aljabarnya, seperti ini.
Diperoleh persamaan lingkaran x² +y² = 3.
Lho, itu kan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jarinya \[ \sqrt{3} \]
Sekarang aku tau nih.. Berarti titik A = \[ \sqrt{3} \] dan titik B = \[ \sqrt{3} \]
Artinya akar-akar persamaan polinomial itu adalah \[ x_{1}=\sqrt{3}\; dan \;x_{2}=-\sqrt{3} \]

Ada satu lagi cara menarik yang ditemukan oleh Ajatoel Oelja, seorang yang penuh energi dan berselebrasi njungkel-njungkel, rol depan. Sangat unik pria yang satu ini.
Persamaan polinomial
x⁴ 2x³ x² + 6x 6 = 0
bisa kita kerjakan dengan mengelompokkan pangkat-pangkat yang selang-seling (pangkat genap dengan pangkat genap: x⁴, x², x0 dan pangkat ganjil dengan pangkat ganjil: x3, x1) sehingga tercipta suasana yang sejuk untuk dinikmati. Jadi persamaan polinomial itu kini menjadi seperti ini.
x⁴ 6 2x³ + 6x = 0
(x⁴ 6) (2x³ 6x) = 0
(x² + 2)(x² – 3) – 2x(x² – 3) = 0
(x² – 2x + 2)(x² – 3) = 0.
Jelas bahwa x² – 2x + 2 > 0 (positif). Jadi x² – 3 haruslah bernilai nol.
Diperoleh x² – 3 = 0
\[ \Leftrightarrow (x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3}) \]
\[ \Leftrightarrow x_{1}=\sqrt{3}\; dan \;x_{2}=-\sqrt{3} \]


kira-kira saya sudah paham belum ya? Untuk mengujinya, silakan kerjakan soal latihan di bawah ini dengan cara Ajatoel Oelja tadi.
Tentukan akar-akar persamaan polinomial berikut ini.
  1. x⁴ – 2x³ + 3x² + 4x – 10 = 0
  2. x⁴ – 2x³ + 6x – 9 = 0
  3. x⁴ – 3x³ – x² + 15x – 20 = 0
  4. x⁴ – x³ – 3x² + 6x – 18 = 0
  5. x⁴ – 4x³ – x² + 28x – 42 = 0

    file pdfnya bisa diunduh di google docs berikut ini.
    https://docs.google.com/open?id=0B-WmUMQtTTUYdlU2NXNyUEVrUTQ
Semoga bermanfaat
muktyas@gmail.com

32 komentar:

  1. ahki, izin copy artikelnya ya...

    ada tugas buat sekolah. :D

    salam, rohmat reza :D

    BalasHapus
  2. Bermanfaat sekali (y)

    BalasHapus
  3. mas apakah ada pembahasan soal nya ?
    karena soal sama contoh beda sekali saat pengerjaanya jadi saya kebingungan heheh

    BalasHapus
    Balasan
    1. :)
      Ada sedikit, Mas Agil. Saya beri contoh untuk soal no. 1.
      x^4 - 2x^3 + 3x^2 +4x - 10 = 0
      x^4 + 3x^2 - 10 - 2x^3 + 4x =0
      (x^2 + 5)(x^2 - 2) - 2x(x^2 - 2) = 0
      (x^2 - 2x + 5)(x^2 - 2) = 0
      --------v--------- x=+- sqrt(2)
      definit positif.

      Jadi solusinya adalah
      x_1 = - sqrt(2) dan
      x_2 = sqrt(2).

      Nah, begitu. Coba untuk soal-soal lainnya ya..
      :D

      Hapus
  4. pak, bagaimana mencari akar2 persamaan ini
    2x^3 +3x^2-4x+5=0 , saya sdah mencrinya dengan metoda numerik, mengunakan bantuan M.excel, sya hanya bisa meneemukan satu akar sja, itupun hasilnya cuma mendekati nol, bagaimana caranya untuk mencari akar yang lain? dosen sya menyuruh dngan bntuan grafik, tpi sya tidak mengerti cranya, mohon bntuannya pak, assalamualaikum

    BalasHapus
    Balasan
    1. Mas Oni, kalau mau liat grafiknya. Silakan ke sini: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D2x^3+%2B3x^2-4x%2B5
      Mas Oni juga bisa mengganti-ganti dengan persamaan lain.
      Untuk persamaan di atas hanya ada satu akar saja (bisa dilihat dari grafiknya yang memotong sumbu x, berarti y = 0). :)

      Hapus
  5. no.3 aku gak dpet bisa dibahas gak? :(

    BalasHapus
  6. x^3 – 10x + 10 = 0 bantu penyelesaian faktornya dong !!

    BalasHapus
    Balasan
    1. Mas Anonim, itu bentuknya beda mas.. liat di geogebra aja.. :)

      Hapus
  7. makasih sob sangat membantu... semoga berkah

    BalasHapus
  8. alkhamdulillah gak ngerti bro

    BalasHapus
  9. Makasih mas bro... Tak coba dulu

    BalasHapus
  10. mantab sangat bermanfaat buat tugas kampus

    BalasHapus
    Balasan
    1. bisa juga toh? Okay, barakallah ya Bud.

      Hapus
  11. Pak mau tanya ya, polinomial P (x) = 3x ^5 + 25 x ^4 + mx^3 + nx^2-53 x - 15 = 0 memiliki akar -1 dan -5. Bagaimana cara menentukan akar yang lain tanpa menentukan nilai m dan n ? Terima kasih

    BalasHapus
    Balasan
    1. Mba Titin, pakai horner dulu untuk x = -5 dulu, setelah itu kan nanti didapat h1(x) dan s1(x) nya. Nah, dari h1(x) nya itu dihornerkan lagi buat x = -1. nanti dapat h2(x) nya lagi dan s2(x) lagi yang ke dua. Selanjutnya s1(x) = 0 dan s2(x) = 0. Dieliminasi dan substitusi dapat n dan m nya. Soalnya kok canggih banget? Kreatif nih mba Titin.

      Hapus
  12. pak bisa kirim pembahasannya? dari no 1-5

    BalasHapus
    Balasan
    1. Tapi saya ada tugas pak ...saya cari gak ketemu ketemu :'(

      Hapus
  13. Thank's guys..

    BalasHapus
  14. tolong, x^3-6x^2-78x-75=0 faktornya berapa ya?

    BalasHapus
  15. Bagus Mas, terima kasih bagi2 ilmunya, semoga bermanfaat. Amin

    BalasHapus