Rabu, 28 Maret 2012

pertidaksamaan mutlak kalkulus

mutlak
Tentukan penyelesaian dari
|x + 5| < |2x + 6|.

Penyelesaian:
Jelas titik-titik kritisnya adalah x = –5 dan x = –3.
Strategi: Ilustrasi:
Kasus x ∈ (–∞, –5):   ini artinya x < –5
   Jelas –(x + 5) < –(2x + 6)
⇔ – x – 5 < – 2x – 6
⇔ x < – 1.
Jadi Hp1 = (–∞, –5) ∩ (–∞, –1) = (–∞, –5).
ini sama saja dengan { x ∈ ℝ | x< –5 }
x < –5 ⇔ x+5 < 0
Karena x < –5 maka x+5 nya negatif.
Kalau x + 5 saja negatif, apalagi x + 3, tentu juga masih negatif.
Berarti kalau 2x + 6 juga negatif.
Jadi |x + 5| < |2x + 6|
⇔ –(x + 5) < –(2x + 6)

Kasus x ∈ [–5, –3):   ini artinya –5 x < –3
   Jelas x + 5 < –(2x + 6)
⇔ x + 5 < –2x – 6
⇔ 3x < –11
⇔ x < –11/3.
Jadi Hp2 = [–5, –3) ∩ (–∞, –11/3) = [–5, –11/3).
ini sama saja dengan { x ∈ ℝ | –5 ≤ x < –11/3 }
–5 x < –3 ⇔ x > –5 dan x < –3.
Karena x > –5 maka x + 5 > 0 (positif),
karena x < –3 maka x + 3 < 0 (negatif), berarti 2x + 6 (yaitu dua kalinya x + 3) juga negatif.
Jadi |x + 5| < |2x + 6|
⇔ x + 5 < –(2x + 6).
Kasus x ∈ [–3, +∞): ini artinya x ≥ –3
   Jelas x + 5 < 2x + 6
⇔ x + 5 < 2x + 6
⇔ –x < 1
⇔ x > –1.
Jadi Hp3 = [–3, +∞) ∩ (–1, +∞) = (–1, +∞).
ini sama saja dengan { x ∈ ℝ | x > –1 }
Sekarang x ≥ –3. Artinya x + 3 ≥ 0 (tak negatif).
Ini berarti 2x + 6 = 2(x + 6) ≥ 0 (juga tak negatif).
Kalau x + 3 saja tak negatif, berarti x + 5 pun juga tak negatif.
Jadi |x + 5| < |2x + 6|
⇔ x + 5 < 2x + 6.
Jadi Hptotal=Hp1 U Hp2 U Hp3
= (–∞, –5) U [–5, –11/3) U (–1, +∞)
= (–∞, –11/3) U (–1, +∞)
= { x ∈ ℝ | x< –11/3 atau x > –1 .


Tidak ada komentar:

Posting Komentar